&НаКлиенте
Процедура ТабБДДСПриИзменении(Элемент)
    ТекущаяСтрока = Элемент.ТекущаяСтрока;
    ОчиститьСообщения();                        
    Если Не мПризнакДобавленияСтроки  Тогда
        ДатаПриИзмененииНаСервере();
    КонецЕсли;
    Элементы.ТабБДДС.ТекущаяСтрока = ТекущаяСтрока;
//    Элементы.ТабБДДС.ИзменитьСтроку();
    
    мПризнакДобавленияСтроки = Ложь;
КонецПроцедуры

Задача остаться в той же строке. Но, при вводе значения, активной ставновится первая строка таблицы. Почему данный код не работает?

Если устанавливаемое значение не является допустимым (такое значение отсутствует) для данной таблицы, то такая установка игнорируется.
Тип определяется расширением таблицы.

Что то в нем неправильно

Если такая задача возникла, значит в ДатаПриИзмененииНаСервере() происходит какая-нибудь жесть, после которой все бывшие идентификаторы строк протухают.

(3) Так и есть. И как тут сделать тогда?

(4) есть вариант найти строку не по идентификатору, а по комбинации значений колонок? Тогда можно получить ее идентификатор и пихнуть в текущую строку.

(5) там же на сервере можно сделать